（1）证明：∵∠DEF=45°，
∴∠DFE=90°-∠DEF=45°．
∴∠DFE=∠DEF．
∴DE=DF．
又∵AD=DC，
∴AE=FC．
∵AB是圆B的半径，AD⊥AB，
∴AD切圆B于点A．
同理：CD切圆B于点C．
又∵EF切圆B于点G，
∴AE=EG，FC=FG．
∴EG=FG，即G为线段EF的中点．
（2）根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，
根据勾股定理，得：
（x+y）²=（1-x）²+（1-y）²
∴y=

1−x

1+x

（0＜x＜1）．
（3）当EF=

5

6

时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，
即x+

1−x

1+x

=

5

6

，
解得x₁=

1

3

，x₂=

1

2

．
经检验x₁=

1

3

，x₂=

1

2

是原方程的解．
①当AE=

1

2

时，△AD₁D∽△ED₁F，
证明：设直线EF交线段DD₁于点H，由题意，得：
△EDF≌△ED₁F，EF⊥DD₁且DH=D₁H．
∵AE=

1

2

，AD=1，
∴AE=ED．
∴EH∥AD₁，∠AD₁D=∠EHD=90°．
又∵∠ED₁F=∠EDF=90°，
∴∠FD₁D=∠AD₁D．
∴D₁F∥AD，
∴∠ADD₁=∠DD₁F=∠EFD=45°，
∴△ED₁F∽△AD₁D．
②当AE=

1

3

时，△ED₁F与△AD₁D不相似．