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数学
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在数列{an}中Sn=1+kan(k不=0,1):求证:{an}是等比数列 求通项公式an
人气:482 ℃ 时间:2019-12-20 17:17:21
解答
证明:
由题,则S(n+1)=1+ka(n+1)
S(n+1)-S(n)=a(n+1)=ka(n+1)-kan
整理后得:a(n+1)/an=k/(k-1)
因为k≠0,1
故an为公比q=k/(k-1)的等比数列,得证.
令n=1,则由题,S1=a1=1+ka1 ===> a1=1/(1-k)
又因为证得an为公比q=k/(k-1)的等比数列,
所以an=a1(1-q^n)/1-q
=[1/1-k][1-(k/k-1)^n]/[1-k/(k-1)]
整理后得:
an=1-(k/k-1)^n
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