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a,b∈R,且a≠2,若定义在区间(−b,b)内的函数f(x)=lg
1+ax
1+2x
是奇函数,则a+b的取值范围是______.
人气:213 ℃ 时间:2020-02-06 00:38:03
解答
∵定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg
1+ax
1+2x
是奇函数,
∴任x∈(-b,b),f(-x)=-f(x),即lg
1−ax
1−2x
=-lg
1+ax
1+2x

lg
1−ax
1−2x
=lg
1+2x
1+ax
,则有
1−ax
1−2x
1+2x
1+ax

即1-a2x2=1-4x2,解得a=±2,
又∵a≠2,∴a=-2;则函数f(x)=lg
1−2x
1+2x

要使函数有意义,则
1−2x
1+2x
>0,即(1+2x)(1-2x)>0
解得:-
1
2
<x<
1
2
,即函数f(x)的定义域为:(-
1
2
1
2
),
∴(-b,b)⊆(-
1
2
1
2
),∴0<b≤
1
2

∴-2<a+b≤-
3
2
,即所求的范围是(−2,−
3
2
]

故答案为:(−2,−
3
2
]
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