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数学
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已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)
2
(x∈R)有极大值32.
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
人气:391 ℃ 时间:2019-08-19 15:31:37
解答
(1)∵f(x)=ax(x-2)
2
=ax
3
-4ax
2
+4ax,
∴f′(x)=3ax
2
-8ax+4a.
由f′(x)=0,得3ax
2
-8ax+4a=0.
∵a≠0,∴3x
2
-8x+4=0.
解得x=2或x=
2
3
.
∵a>0,∴x<
2
3
或x>2时,f′(x)>0;
2
3
<x<2时,f′(x)<0.
∴当x=
2
3
时,f(x)有极大值32,即
8
27
a-
16
9
a+a=32,∴a=27.
(2)∵x<
2
3
或x>2时,f′(x)>0,∴函数f(x)单调递增
当
2
3
<x<2时,f′(x)<0,∴函数f(x)单调递减
f(x)在(-∞,
2
3
)和(2,+∞)上是增函数,在(
2
3
,2)上是减函数.
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