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数学
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已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)
2
(x∈R)有极大值8.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求实数a的值.
人气:246 ℃ 时间:2019-08-19 16:04:32
解答
(Ⅰ)函数的导数为f'(x)=a(x-2)
2
+2(x-2)ax=3ax
2
-8ax+4a=
3a(x−2)(x−
2
3
)
,
因为a>0,
则由f'(x)>0,则x>2或x
<
2
3
,此时函数单调递增,
由f'(x)<0,则
2
3
<x<2
,此时函数单调递减.
即函数的单调增区间为(2,+∞)和(-
∞,
2
3
).
函数的单调递减区间为(
2
3
,2
).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知当x=
2
3
时,函数取得极大值,
所以由f(
2
3
)=8得,
f(
2
3
)=
2
3
a
(
2
3
−2)
2
=
32a
27
=8
,
解得a=
27
4
.
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