设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒满足f(2+x)=-f(x),当x∈[0,2]时,f（x）=2x-x²（_数学解答

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒满足f(2+x)=-f(x),当x∈[0,2]时,f（x）=2x-x²
（1）,求证：f（x）是周期函数
（2）,求证：当x∈[2,4]时,求f（x）的解析式

人气：422 ℃　时间：2019-08-21 03:05:21

解答

（1）f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4))=f(x+4),所以f(x)是以4为周期的周期函数.
（2）根据奇函数性质f(x)=-f(-x),可知x∈[-2,0]时,f(x)=-f(-x)=-(-2x-x²)=2x+x²,而f(x)是以4为周期的周期函数,当x∈[2,4]时,f(x)=f(x-4)=2(x-4)+(x-4)²=x²-6x+8根据f(x+2)=-f(x)这条件...于是f(x+4)=-f(x+2)，这个就是把x+2作为一个整体看作条件中的x，带进去就是了