已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．（I）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求f（x）的解_数学解答

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（I）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求f（x）的解析式；
（II）若x∈[0，1]，函数f（x）图象上的任意一点的切线斜率为k，当k≥-1恒成立时，求实数a的取值范围．

人气：452 ℃　时间：2020-03-28 16:07:49

解答

（I）由f′（x）=-3x²+2ax得x＝0或x＝

.
∴

＝4得a=6．（3分）
当x＜0，f′（x）＜0．当0＜x＜4时，f′（x）＞0．
故当x=0时，f（x）达到极小值f（0）=b，∴b=-1．
∴f（x）=-x³+6x²-1；（6分）
（II）当x∈[0，1]时，
k=f′（x）=-3x²+2ax≥-1恒成立，
即令g（x）=3x²-2ax-1≤0
对一切x∈[0，1]恒成立，（9分）
只需

g(0)＝−1≤0

g(1)＝2−2a≤0

即a≥1．
所以，实数a的取值范围为[1，+∞）．（12分）