设切点为A（a,a^2）则y=x^2在A处的导数为2a,切线方程为y-a^2=2a(x-a)
易知切线与x轴的交点B（a/2,0）,过A做X轴的垂线与X轴交于点C,则易知三角形ABC的面积为1/2*AC*BC=1/2*a^2*a/2=1/4a^3
设原点为O,由定积分知识易知线段OC AC和曲线AO围成区域的面积为1/3a^3
根据你的条件有：
1/3a^3-1/4a^3=1/12
解得：a=1
所以点A坐标为（1,1）
也易得切线方程：y=2x-1