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数学
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如图1,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=
1
2
AP=2,D为AP的中点,E,F,G分别为PC、PD、CB的中点,将△PCD沿CD折起,使点P在平面ABCD上的射影为点D,如图2.
(I)求证:AP∥平面EFG;
(Ⅱ)求三棱锥P-ABC的体积.
人气:476 ℃ 时间:2020-04-11 17:28:24
解答
(I)证明:取AD的中点H,连接FH、GH.
∵E,F,G分别为PC、PD、CB的中点,∴EF∥CD,CG
∥
.
DH,
∴四边形CDHG是平行四边形,∴CD∥GH.
∴EF∥GH.∴四点EFHG四点共面.
又FH∥PA.
PA⊄平面EFGH,FH⊂平面EFGH.
∴PA∥平面EFGH.
(II)∵点P在平面ABCD上的射影为点D,∴PD⊥平面ABCD.
即PD是三棱锥P-ABC的高.
而
S
△A BC
=
1
2
×AB×BC=
1
2
×2×2
=2.
∴三棱锥P-ABC的体积V=
1
3
S
△ABC
×PD
=
1
3
×2×2=
4
3
.
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