AP⊥PQ,即：点P在以AQ为直径的圆上.
所以以AQ为直径的圆与双曲线有交点（除点A外）
圆方程为：(x-a)(x-2a)+y^2=0,与双曲线联立,消去y
得到关于x的二次方程,因为有一个解是x1=a(就是A点)
利用韦达定理求出另一个解x2>a,解出即可.
后面自己完成哈.