四边形GEHF是平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，AD=BC且AD∥BC．
∴∠ADO=∠CBO．
又∵∠FOB=∠EOD，
∴△FOB≌△EOD（ASA）．
∴EO=FO．
又∵G、H分别为OB、OD的中点，
∴GO=HO．
∴四边形GEHF为平行四边形．