X(n+1)=√[2+X(n)]
所以X(n+1)＞X(n)
←（表示左箭头,表示分析过程）√[2+X(n)]＞X(n)
←2+X(n)＞[X(n)]²
←[X(n)]²-X(n)-2＜0
←[X(n)-2][X(n)+1]＜0
←-1＜X(n)＜2
而用数学归纳法-1＜X(n)＜2是容易证明的.因此X(n)单调递增.
PS:
用数学归纳法对-1＜X(n)＜2是的证明过程：
X(n)显然为正数列,所以X(n)＞0＞-1；
而X(1)=√2＜2,用数学归纳法,假设X(k)＜2,那么
X(k+1)=√(2+X(k)＜√(2+2)=2
于是X(k+1)＜2,
综上,X(n)＜2.