（1）f（x）=

x2

x−2

=（x-2）+

4

x−2

+4，…（2分）
令x-2=t，由于y=t+

4

t

+4在（-∞，-2），（2，+∞）内单调递增，在（-2，0），（0，2）内单调递减，
∴求得f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（4，+∞）；单调递减区间为（0，2），（2，4）．…（6分）
（2）∵f（x）在x∈[0，1]上单调递减，∴其值域为[-1，0]，
即x∈[0，1]时，g（x）∈[-1，0]．…（8分）
∵g（0）=0为最大值，∴最小值只能为g（1）或g（a），…（9分）
若g（1）=-1，则

a≥1 1−2a＝−1

⇒a=1；
若g（a）=-1，则

1 2 ≤a≤1 −a2＝−1

⇒a=1．
综上得a=1…（12分）