设数列｛an}满足a1+2a2+3a3+……+nan=2^n(n∈N*) 求数列｛an}的通项公式设bn=n^2*an,求数列b_其他解答

设数列｛an}满足a1+2a2+3a3+……+nan=2^n(n∈N*) 求数列｛an}的通项公式设bn=n^2*an,求数列bn的前n项和

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解答

a1+2a2+3a3+……+nan=2^n
a1+2a2+3a3+……+(n-1)an-1=2^(n-1)
由上式减下式得到：nan=2^(n-1)
an=2^(n-1)/n
bn=n^2*an=n*2^(n-1)
2*∑bn-∑bn=2*(1*1+2*2^1+3*2^2+4*2^3+……n*2^(n-1))-(1*1+2*2^1+3*2^2+4*2^3+……n*2^(n-1))=(1*2^1+2*2^2+3*2^3+4*2^4+……(n-1)*2^(n-1)+n*2^n)-(1*1+2*2^1+3*2^2+4*2^3+5*2^4……n*2^(n-1))=n*2^n-1-(2+2^2+2^3+……2^(n-1))=n*2^n-1-2^n+2=(n-1)*2^n+1
所以∑bn=(n-1)*2^n+1