单调数列收敛准则证明数列极限存在
X1=√2 Xn+1=√2Xn n=1.2.
人气:455 ℃ 时间:2020-01-31 08:33:59
解答
有:xn=√(2+x(n-1))
∵1 < x1=√2 < x2 =√(2+x1) < 2
由数学归纳法:
假设: x(n-1) < xn < 2
xn=√(2+x(n-1)) < xn+1=√(2+xn)∴ xn为单调数列;
xn+1=√(2+xn) < √(2+2) < 2∴ xn为有界数列,上界取2,下界取 x1=√2;
∴由单调有界原理: lim(n->∞) xn 存在 ,根据极限保序性,设:
lim(n->∞) xn = a≥ 1
a = lim(n->∞) x(n+1)= lim(n->∞) √(2+xn)= √(2+a)
a = √(2+a)
解得 a=2, a=-1 (舍)
∴ lim(n->∞) xn = 2
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