求n项和数列的极限
您好,关于您回答的之前一个我提的数列极限的问题,
看到一道题目:求lim∑(n*tan(i/n)/(n²+i)),{n趋于无穷,i从1到n}的解法如下:
记Xn=∑(n*tan(i/n)/(n²+i)),对Xn放大和缩小后转化成:
n/(n+1)∑[tan(i/n)]/n=∑[n*tan(i/n)]/(n²+n)≤Xn≤∑n*tan(i/n)/n²=∑[tan(i/n)]/n.
∑[tan(i/n)]/n是f(x)=tanx在[0,1]区间上的一个积分和.
lim∑[tan(i/n)]/n=∫tanx dx=-lncos1,{n趋于无穷,i从1到n};
limn/(n+1)∑[tan(i/n)]/n=1*∫tanx dx==-lncos1,{n趋于无穷,i从1到n}.
您回答我之前那个数列极限问题时说:"如果∑前面有关于n的参数就根本就不能n*∑(1/n)(i/n)³等同于4/n",那上述这个题的解法中limn/(n+1)∑[tan(i/n)]/n=1*∫tanx dx,∑前面也是有关于n参数,∑前面n变化是在无穷上,而∑后面 的n变化的值却是从i=1到n .按照您说的这样,这个题的解法我就不太理解了?
人气:221 ℃ 时间:2020-01-29 14:59:20
解答
那我以前说得稍微有一点问题,这实际上就是极限的乘积.
若lim un=u,lim vn=v,则必有lim un*vn=u*v,本题就是如此.
以前遇到的题不是这种情况,而是未定式,也就是
lim un=无穷,limvn=0,此时是0×无穷的未定式.
不能用上面的结论了.
其实判断是否能用四则运算很简单,就是参与运算的两个
数列或函数必须都有极限.未定式有7个:
0×无穷,无穷-无穷,0/0,无穷/无穷;
1^(无穷),无穷^0,0^0,除了这7种外,
剩下的都是可以用结论的.
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