试证明Neuberg不等式：三角形中a,b,c是三边长,R是外接圆半径,有a2+b2+c2_其他解答

试证明Neuberg不等式：三角形中a,b,c是三边长,R是外接圆半径,有a2+b2+c2<=9R^2

人气：165 ℃　时间：2020-04-15 04:31:51

解答

两边除以4R^2
a^2/4R^2+b^2/4R^2+c^2/4R^2<=9/4
根据正弦定理,左边等于
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2
=3-(cosA)^2-(cosB)^2-(cosC)^2<=9/4
实际上要证明(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2>=3/4
用余弦定理代入可证