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设函数f(x)=px-2lnx.
(1)若p>0,求函数f(x)的最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)-
p
x
在其定义域内为单调函数,求p的取值范围.
人气:287 ℃ 时间:2020-01-29 08:23:00
解答
(1)∵f′(x)=p-
2
x
=
px−2
x
,令f′(x)=0,得x=
2
p

∵p>0,列表如下,

从上表可以得,当x=
2
p
时,f(x)有极小值2-2ln
2
p
.(4分)
又此极小值也为最小值,所以当x=
2
p
时,f(x)有最小值2-2ln
2
p
.(5分)
(2)因为g(x)=f(x)-
p
x
=px-
p
x
-2lnx,则g′(x)=p+
p
x2
-
2
x
=
px2−2x+p
x2

由函数g(x)=f(x)-
p
x
在其定义域内为单调函数得,g′(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立或g′(x)≤0对x∈(0,+∞)恒成立.
①当p=0时,g′(x)=-
2
x
<0对x∈(0,+∞)恒成立(7分)
此时g(x)在其定义域内为减函数,满足要求.
②当p>0时,g′(x)≤0对x∈(0,+∞)恒成立不可能,
由g′(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立得px2-2x+p≥0对x∈(0,+∞)恒成立,即p≥
2x
x2+1
对x∈(0,+∞)恒成立,
∵当x∈(0,+∞)时,
2x
x2+1
=
2
x+
1
x
≤1,
∴p≥1(9分)
③当p<0时,g′(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立不可能,
由g′(x)≤0对x∈(0,+∞)恒成立得px2-2x+p≤0对x∈(0,+∞)恒成立,即p≤
2x
x2+1
对x∈(0,+∞)恒成立,
∵当x∈(0,+∞)时,
2x
x2+1
>0,
∴p≤0;
又∵p<0,
∴此时p<0.(11分)
综上所述,P的取值范围为(-∞,0]∪[1,+∞)..(12分)
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