（1）由函数f（x）=ax³+bx+1的图象经过点（1，-1），得a+b=-2…（1分）
f'（x）=3ax²+b …（3分）
又 f'（1）=3a+b=0…（5分）
解方程 

a+b＝−2 3a+b＝0

，得 

a＝1 b＝−3

故 f（x）=x³-3x+1  …（7分）
（2）由（1）知f'（x）=3x²-3，由f'（x）＞0 …（9分）
解得x＞1或x＜-1…（11分）
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），…（12分）