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数学
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已知动圆M:x
2
+y
2
-2mx-2ny+m
2
-1=0与圆N:x
2
+y
2
+2x+2y-2=0交于A、B两点,且这两点平分圆N的圆周.
(1)求动圆M的圆心的轨迹方程;
(2)求半径最小时圆M的方程.
人气:124 ℃ 时间:2020-01-27 07:06:28
解答
(1)如图所示(坐标系省略了),圆心N(-1,-1)为弦AB的中点,在Rt△AMN中,
|AM|
2
=|AN|
2
+|MN|
2
,
∴(m+1)
2
=-2(n+2).(*)
故动圆圆心M的轨迹方程为(x+1)
2
=-2(y+2).
(2)由(*)式,知(m+1)
2
=-2(n+2)≥0,于是有n≤-2.
而圆M半径r=
n
2
+1
≥
5
,
∴当r=
5
时,n=-2,m=-1,所求圆的方程为(x+1)
2
+(y+2)
2
=5.
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