已知动圆M：x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆N：x2+y2+2x+2y-2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周．_数学解答

已知动圆M：x²+y²-2mx-2ny+m²-1=0与圆N：x²+y²+2x+2y-2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周．
（1）求动圆M的圆心的轨迹方程；
（2）求半径最小时圆M的方程．

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解答

（1）如图所示（坐标系省略了），圆心N（-1，-1）为弦AB的中点，在Rt△AMN中，
|AM|²=|AN|²+|MN|²，
∴（m+1）²=-2（n+2）．（*）
故动圆圆心M的轨迹方程为（x+1）²=-2（y+2）．
（2）由（*）式，知（m+1）²=-2（n+2）≥0，于是有n≤-2．
而圆M半径r=

n2+1

≥

，
∴当r=

时，n=-2，m=-1，所求圆的方程为（x+1）²+（y+2）²=5．