设AB中点为M
双曲线标准方程为：x²/2-y²/2=1
由双曲线中点差法的结论：K(AB)*K(OM)=b²/a²
由题意知：K(AB)=1/2,b²/a²=1
所以,易得：K(OM)=2
所以,OM的直线方程为：y=2x
直线L过右焦点F(2,0),k=1/2
则L的方程为：y=x/2-1
直线OM与直线L的交点就是AB的中点M
y=2x
y=x/2-1
解得：x=-2/3,y=-4/3
所以,M(-2/3,-4/3)
K(AB)=1/2,则其垂直平分线的斜率k=-2
又过点M
所以,垂直平分线的方程为：y+4/3=-2(x+2/3)
即：y=-2x-8/3