设f∈C[a,b],f(a)=f(b)=0,且f '(a)f '(b)>0,证明：存在x属于(a,b),使f(x)=0是否需要f在_数学解答

设f∈C[a,b],f(a)=f(b)=0,且f '(a)f '(b)>0,证明：存在x属于(a,b),使f(x)=0
是否需要f在(a,b)内可导这个条件呀?
这样直观地说f(x1)>0貌似还不够严谨，需要更严格的证明。。而且f '(a)和f '(b)是同号的。。

人气：451 ℃　时间：2020-07-10 08:06:30

解答

不需要
不妨设f'(a)>0,f'(b)>0,
那么在(a,a+n)上存在x1,使得f(x1)>0,其中n为任意小的正实数
同理,在(b-n,b)上存在x2,使得f(x2)<0,又f在[a,b]上连续,所以在(x1,x2)上一定存在x,使得f(x)=0
刚才打错了,是同号
很严谨的,f'(a)=lim[f(x)-f(a)]/(x-a)>0,而且极限存在则左右极限都存在
右极限的情况下,(x-a)>0,f'+(a)>0,那么一定有f(x)>f(a)=0