若函数y=f(x)对任意xy∈R恒有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)指出y=f（x）的奇偶性,并证明（2）若x>0时,f（_数学解答

若函数y=f(x)对任意xy∈R恒有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)指出y=f（x）的奇偶性,并证明
（2）若x>0时,f（x）<0,证明f（x）的单调性
（3）在（2）的条件下,若对任意实数x,恒有f（kx)+f（-x平方+x-2)>0成立,求k的取值范围

人气：468 ℃　时间：2019-08-19 01:28:07

解答

（1）令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0；
令y=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x),f(-x)=-f(x),因此f(x)为奇函数.
（2）对于任意的x1,x2∈R,不妨设x10,f(x2-x1)<0,f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)（3）f（kx)+f（-x平方+x-2)>0即f(kx)+f(-x^2+x-2)>0,f(kx-x^2+x-2)>0,故有kx-x^2+x-2<0,x^2-(k+1)x+2>0.由于恒有f（kx)+f（-x平方+x-2)>0成立,故x^2-(k+1)x+2>0恒成立,意味着判别式小于0,则有(k+1)^2-4*2<0,即k的取值范围为（-1-2*根号2,-1+2*根号2）x^2-(k+1)x+2>0的判别式小于0，即(k+1)^2-4*2<0,