双曲余弦的定义是cosh(x)=(e^x+e^-x)/2
若只在实数域内讨论,容易证出：
对任意实数x,有cosh(x)>=1
即,双曲余弦的值域为{x|x>=1}
因此,它的反函数定义域为{x|x>=1}由于双曲余弦不是一一映射，为了保证其反函数的单值性，必须对双曲余弦的定义域加以限制，使其在新的定义域中是一一映射。若限制cosh(x)的定义域是{x|x>=0}则反双曲余弦为ln(x+(x^2-1)^(1/2))；若限制cosh(x)的定义域是{x|x<=0}则反双曲余弦为ln(x-(x^2-1)^(1/2))。理论上讲二者皆可，但是习惯上是取前者。好比arccos(x)的值域要取在[0,pi]，而不是[-pi,0]，或是其他。