已知函数f(x)对任意实数x,y,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立,求证:f(x)为偶函数
人气:477 ℃ 时间:2019-12-20 10:48:46
解答
在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中
令y=0 则又 f(x)+f(x)=2f(x)f(0)
如果f(x)恒等于0,则它为偶函数
考虑f(x)不恒等于0时,得f(0)=1
再在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中 令x=0
得 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)
得 f(-y)=f(y) 所以 f(x)为偶函数
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