已知函数f(x)=(1/2^x-1+1/2)x^3,(1)求函数的定义域(2)讨论奇偶性(3)证明f(x)大于0
已知函数f(x)=(1/2^x-1+1/2)x^3,
(1)求函数的定义域
(2)讨论奇偶性
(3)证明f(x)大于0
已知函数f(x)=「1/(2^x-1)+1/2」x^3,
人气:148 ℃ 时间:2019-08-18 10:00:52
解答
(1)
函数f(x)=「1/(2^x-1)+1/2」x^3有意义,只需2^x-1≠0,从而x≠0
故函数f(x)定义域为x≠0;
(2)偶函数
因为 2^x-1≠0 所以 x≠0
且:f(-x)={1/[2^(-x)-1]+1/2}(-x)^3
=-[2^x/(1-2^x)+1/2]x^3
=-[-1+1/(1-2^x)+1/2]x^3
=-[-1/(2^x-1)-1/2]x^3
=f(x)
故由偶函数定义知f(x)为偶函数;
(3)
证明:
当x>0时,x^3>0,「1/(2^x-1)+1/2」>0,所以f(x)=「1/(2^x-1)+1/2」x^3>0
当x<0时,x^3<0,1/(2^x-1)>-1/2,所以「1/(2^x-1)+1/2」<0,从而f(x)=「1/(2^x-1)+1/2」x^3>0
综上所述,f(x)>0 得证.
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