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数学
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利用单调有界原理求数列极限时,当证明出数列单调且有界时,那个界怎样证明就是数列的极限?
如: x1>0,xn+1=1/2(xn+1/xn),求xn的极限时,已求得下界为1,且数列单调递减,则极限怎么说明也为1?
人气:304 ℃ 时间:2020-03-24 12:29:52
解答
好像没有任何证据证明“界”=“极限”
不过可以求得极限
因递减数列Xn存在下界,所以Xn有极限A
Xn+1也有极限,
所以可两边求极限lim(Xn+1)=lim(1/2(Xn^2+1)/Xn)
等价于limXn×lim(Xn+1)=limXn×lim(1/2(Xn^2+1)/Xn)
右式=lim(Xn×1/2(Xn^2+1)/Xn)=1/2(limXn)^2+1/2=1/2A^2+1/2
左式=A^2+A
解得A=1
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