如图，连接BE．
∵△ABC为锐角三角形，
∴∠BAC，∠ABE均为锐角．
∵⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，
∴∠BAC=∠ABE．
∴∠BEC=∠BAC+∠ABE=2∠BAC．
若△ABC的外心为O₁，则∠BO₁C=2∠BAC，
∴⊙O一定过△ABC的外心．
故选B．