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证明如下:
(1)当扇形的圆心角与正三角形的中心角重合时:
显然,△ABC与扇形重叠部分的面积等于△ABC的面积的
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(2)当扇形的圆心角与正三角形的中心角不重合时:
如图,连接OA、OB,设OD交AB于F,OE交BC于G,
∵O是正三角形的中心,
∴OA=OB,∠OAF=∠OBG,
∠AOB=
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360° |
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∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=120°-∠BOF,
∠BOG=120°-∠BOF,
∴∠AOF=∠BOG,
在△AOF和△BOG中
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∴△AOF≌△BOG(ASA),
即S四边形OFBG=S△AOB=
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即△ABC与扇形重叠部分的面积,总等于△ABC的面积的
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同理可证,当扇形ODE旋转至其他位置时,结论仍成立.
由(1)、(2)可知,当扇形的圆心角为120°时,△ABC与扇形重叠部分的面积,总等于△ABC的面积的
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