> 数学 >
已知A、B是椭圆
x2
a2
+
25y2
9a2
＝1上的两点，F2是椭圆的右焦点，如果|AF2|+|BF2|=
8
5
a，AB的中点到椭圆左准线距离为
3
2
，则椭圆的方程______．
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解答
∵|AF2|+|BF2|=
8
5
a，∴2a-|AF1|+2a-|BF1|=
8
5
a，∴|AF1|+|BF1|=
12
5
a，
记AB的中点为M，A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A1、B1，M1，
由椭圆第二定义知：|AF1|=e|AA1|，|BF1|=e|BB1|，于是有：e（|AA1|+|BB1|）=
12
5
a，
而e=
4
5
，∴|AA1|+|BB1|=3a，∴2|MM1|=3a，又|MM1|=
3
2
，∴a=1，故椭圆方程为 x2+
25y2
9
＝1．
故答案为 x2+
25y2
9
＝1．
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