一道大学线性代数证明题:设n阶矩阵A满足A的平方=A,E为n阶单位矩阵,证明R(A)+R(A-E)=n
人气:341 ℃ 时间:2020-03-30 00:28:48
解答
这是一个很简单的线代证明了!
因为A^2=A,所以A(A-E)=0
则有:
R(A)+R(A-E)小于等于n
又因为(A-E)+(-A)=-E
则有:
R(-A)+R(A-E)大于等于n
由于R(-A)=R(A)
所以R(A)+R(A-E)大于等于n
由夹逼定理可知:
R(A)+R(A-E)等于n
陈文灯的数学考研辅导有专门介绍,就是一个定理的使用!
相信能够解决您提出的问题!B=E+AB,则有:B(E-A)=EC=A+CA,则有:C(E-A)=A上面两式相减,得:(B-C)(E-A)=E-A即:(B-C-E)(E-A)=0也就是说,矩阵(B-C-E)(E-A)的秩等于0同时,矩阵(B-C-E)(E-A)的秩小于等于R(B-C-E)和R(E-A)中的最小值。由于E-A不等于0,所以R(E-A)大于等于1那么只能是R(B-C-E)=0即B-C-E=0所以B-C=E请楼主参考!备注:陈文灯的数学考研辅导中都有介绍,楼主看一下即可!
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