题目有点问题,应该是求证ab+cd=0吧
证:
由a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,ac+bd=0,可得
a^2=1-b^2
c^2=1-d^2
ac=-bd
a^2c^2=(1-b^2)(1-d^2)=1-d^2-b^2+b^2d^2=1-(b^2+d^2)+b^2d^2=b^2d^2
b^2+d^2=1
a^2+c^2=2-(b^2+d^2)=2-1=1
ab+cd
=ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2)
=abc^2+abd^2+cda^2+cdb^2
=(abc^2+cda^2)+(abd^2+cdb^2)
=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)
=(ac+bd)(ad+bc)
=0
其实这个题用三角函数换元更方便,就是利用sin^2A+cos^2B=1很容易求证