如图，Rt△ABC中，AD为斜边BC的高，P为AD的中点，BP交AC于N，NM⊥BC于M．延长BA、MN交于E．求证：（1）MN_数学解答

如图，Rt△ABC中，AD为斜边BC的高，P为AD的中点，BP交AC于N，NM⊥BC于M．延长BA、MN交于E．求证：

（1）MN=EN；
（2）MN²=AN•NC．

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解答

证明：（1）∵AD为斜边BC的高，NM⊥BC，
∴AD∥EM，
∴△BAP∽△BEN，△BPD∽△BNM，
∴

，

，
∴

，
而P为AD的中点，
∴AP=DP，
∴MN=EN；
（2）∵∠NMC=∠NAE=90°，∠MNC=∠ENA，
∴△MNC∽△ANE，
∴MN：AN=NC：EN，
而MN=EN，
∴MN：AN=NC：MN，
∴MN²=AN•NC．