证明：（1）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
所以C₁C⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，
所以C₁C⊥AD，又点D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，
所以AD⊥BC，因为BC∩C₁C=C，所以AD⊥平面BCC₁B₁，
又因为DC₁⊂平面BCC₁B₁，所以AD⊥C₁D；（6分）
（2）连接A₁C交AC₁于点E，再连接DE．
因为四边形A₁ACC₁为矩形，所以E为A₁C的中点，
又因为D为BC的中点，所以ED∥A₁B．
又A₁B⊄平面ADC₁，ED⊂平面ADC₁，所以A₁B∥平面ADC₁．（14分）