∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，MN⊂平面A₁B₁C₁D₁．
∴MN∥平面ABCD，又PQ=面PMN∩平面ABCD，
∴MN∥PQ．
∵M、N分别是A₁B₁、B₁C₁的中点
∴MN∥A₁C₁∥AC，
∴PQ∥AC，又AP=

a

3

，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，
∴CQ=

a

3

，从而DP=DQ=

2a

3

，
∴PQ=

DQ2+DP2

=

( 2a 3 )2+( 2a 3 )2

=

2 2

3

a．
故答案为：

2 2

3

a．