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数学
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已知直线l:y=kx+1,圆C:(x-1)
2
+(y+1)
2
=12.
(1)试证明:不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点;
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.
人气:411 ℃ 时间:2020-10-01 00:16:28
解答
(1)由
y=kx+1
(x-1
)
2
+(
y+1)
2
=12
,消去y得到(k
2
+1)x
2
-(2-4k)x-7=0,
∵△=(2-4k)
2
+28k
2
+28>0,
∴不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点;
(2)设直线与圆相交于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则直线l被圆C截得的弦长|AB|=
1+
k
2
|x
1
-x
2
|=2
8-4k+11
k
2
1+
k
2
=2
11-
4k+3
1+
k
2
,
令t=
4k+3
1+
k
2
,则有tk
2
-4k+(t-3)=0,
当t=0时,k=-
3
4
;
当t≠0时,由k∈R,得到△=16-4t(t-3)≥0,
解得:-1≤t≤4,且t≠0,
则t=
4k+3
1+
k
2
的最大值为4,此时|AB|最小值为2
7
,
则直线l被圆C截得的最短弦长为2
7
.
推荐
已知圆(x-1)^2+(y-2)^2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m属于R,证明不论m取何实数,l与c恒相交
直线y=kx+1与圆 x^2+y^2+kx-y-9=0的2个交点关于y轴对称,则实数k的值是
任意的实数k,直线y=kx+1与圆x^2+y^2=2的位置关系一定是
若存在实数K使得直线L:KX-Y-K+2=0与圆X:X^2+2AX+Y^2-A+2=0无公共点,则实数A的取值范围
过定点(1,2)作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切,则k的取值范围是( ) A.k>2 B.-3<k<2 C.k<-3或k>2 D.(−833,−3)∪(2,833)
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