求得y′=3x²-2，因为曲线与直线y=x+1相切，而切线的斜率为1，则y′=3x²-2=1，解得x=1或x=-1
把x=1代入y=x+1得到y=2，切点坐标为（1，2）或把x=-1代入到y=x+1得到y=0，切点坐标为（-1，0）
把切点（1，2）代入曲线方程中得到1-2+a=2，解得a=3；把切点（-1，0）代入曲线方程得到-1+2+a=0，解得a=-1
所以常数a的值-1或3
故答案为：-1或3