已知数列{a
n}中,a
1=2,a
2=4,a
n+1=3a
n-2a
n-1(n≥2,n∈N
*).
(Ⅰ)证明数列{a
n+1-a
n}是等比数列,并求出数列{a
n}的通项公式;
(Ⅱ)记
bn=,数列{b
n}的前n项和为S
n,求使S
n>2010的n的最小值.
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解答
(I)∵a
n+1=3a
n-2a
n-1(n≥2)
∴(a
n+1-a
n)=2(a
n-a
n-1)(n≥2)
∵a
1=2,a
2=4∴a
2-a
1=2≠0,∴a
n+1-a
n≠0
故数列{a
n+1-a
n}是公比为2的等比数列
∴a
n+1-a
n=(a
2-a
1)2
n-1=2
n∴a
n=(a
n-a
n-1)+(a
n-1-a
n-2)+(a
n-2-a
n-3)++(a
2-a
1)+a
1
=2
n-1+2
n-2+2
n-3++2
1+2
=
+2=2
n(n≥2)
又a
1=2满足上式,
∴a
n=2
n(n∈N
*)
(II)由(I)知
bn==2(1−)=
2(1−)=2−∴
Sn=2n−(1++++)=
2n−=
2n−2(1−)=
2n−2+由S
n>2010得:
2n−2+>2010,
即
n+>1006,因为n为正整数,所以n的最小值为1006
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