在各项为正的等比数列{an}中,首项a1=1/2,数列{bn}=log1/2an(1/2为log的底),且b1+b2+b3=6.
(1)求数列{an}的通项公式.(2)求证:a1b1+a2b2+.+anbn
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解答
(1)b1+b2+b3=log1/2 (a1a2a3)=6 ,所以a1a2a3=(1/2)^6
又an是等比数列,所以a1a3=(a2)² 故(a2)³=(1/2)^6 得 a2=(1/2)²=1/4
所以公比q=a2/a1=1/2
故an=a1q^(n-1)=(1/2)^n
(2)bn=log1/2an=log1/2 【(1/2)^n】=n
所以anbn=n*(1/2)^n
a1b1+a2b2+.+anbn=1(1/2)+2(1/2)^2+3(1/3)^3+n(1/2)^n ①
1/2(a1b1+a2b2+.+anbn)=1(1/2)^2+2(1/2)^3+3(1/3)^4+n(1/2)^(n+1) ②
①-②得
1/2(a1b1+a2b2+.+anbn)=1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/3)^4+(1/2)^n-n(1/2)^(n+1)
=1/2 ×(1-(1/2)^n)/(1-1/2)-n(1/2)^(n+1)
=1-(1/2)^n-n(1/2)^(n+1)<1
所以a1b1+a2b2+.+anbn
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