不等式

x2

108

+

y2

4

≥

xy

3k

两边同除以xy得：

x

108y

+

y

4x

≥

1

3k

∵不等式

x2

108

+

y2

4

≥

xy

3k

对于任意正实数x，y总成立
∴

x

108y

+

y

4x

≥

1

3k

对于任意正实数x，y总成立
∴

1

3k

≤2

xy 108y4x

=

1

108

∴3k≥

108

∴k≥

1

2

+

log

63

1

2

+

log

36

又∵总成立的必要不充分条件是k∈[m，+∞），
∴[

1

2

+

log

63

，+∞)⊆[m，+∞），
∴正整数m只能取 1或2
故答案为：1或2