设a,b,c,d属于正实数,用柯西不等式证明(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd
柯西不等式:(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2
人气:177 ℃ 时间:2019-08-20 07:07:01
解答
方法一、直接用基本不等式:对于正数x、y,有:x+y≥2√xy,则:
(ab+cd)(ac+bd)≥2√(abcd)×2√(acbd)=4abcd
方法二、由柯西不等式,得:
(ab+cd)(ac+bd)
≥[√ab×√ac+√cd×√bd]²
=[(√bc)(a+d)]²
=bc(a+d)²
≥bc×(2√ad)²
=4abcd
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