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数学
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(2011•武汉模拟)设f(x)=sinπx是[0,1]上的函数,且定义f
1
(x)=f(x),…,f
n
(x)=f(f
n-1
(x)),n∈N
*
,则满足f
n
(x)=x,x∈[0,1]的x的个数是( )
A. 2n
B. 2(2n-1)
C. 2n
2
D. 2
n
人气:332 ℃ 时间:2019-08-22 10:45:44
解答
显然,y=f
1
(x)与y=x的图象有2=2
1
个交点.
接下来考虑f
2
(x),在x属于[0,
1
2
]时,f
1
(x)从0单调上升到1,于是f
2
(x)从0上升到1再下降到0;
当x属于[
1
2
,1]时,又是这样一个周期.你近似画出它的图象(只要增减性画对)就知道它会上升到1,下降到0,再上升到1,再下降到0,这样和y=x有4=2
2
个交点.
接下来,你再看f
3
(x),就会发现周期又缩短了一半.它有4次上升下降,与直线y=x有8=2
3
个交点.
归纳可以得出结论:f
n
(x)=x,x∈[0,1]的x的个数是:2
n
.
故选D.
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