关系为：GF⊥BD
证明：
∵∠AEC=90°,G为AC的中点
∴EG=AG（斜边中线等于斜边一半）
∴∠A=∠AEG
∵∠AEG+∠CEG=90°,∠CEG=∠DEF
∴∠A+∠DEF=90°
∵∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等）
∴∠D+∠DEF=90°
∴∠DFE=90°
即GF⊥BD