已知不等式xy≤ax²+2y²对于x属于[1,2],y属于[2,3]恒成立,则实数a的取值范围
人气:307 ℃ 时间:2019-10-17 05:46:00
解答
已知不等式xy≤ax²+2y²对于x属于[1,2],y属于[2,3]恒成立,则实数a的取值范围∵1≤x≤2,2≤y≤3;∴2≤xy≤6;当a≧0时,a≤ax²≤4a,8≤2y²≤36;故2≤xy≤6≤a+8≤ax²+2y²≤4a+36;即a...答案是(-1,正无穷),用同时出x平方和斜率算,重作如下:∵1≤x≤2,2≤y≤3;∴1≤y/x≤3;用x²除原不等式xy≤ax²+2y²的两边得y/x≤a+2(y/x)²;设y/x=u,则有f(u)=2u²-u+a≧0..........(1);原命题等价于要使(1)在1≤u≤3时恒成立,即应使f(1)=2-1+a=1+a≧0,故得a≧-1...........①;及f(3)=18-3+a=15+a≧0,故又得a≧-15................②;①与②要同时满足,故应取其交集,即①∩②={a∣a≧-1},就是a的取值范围。
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