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数学
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等比数列{a
n
}中，已知对任意自然数n，a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
=2
n
-1，则a
1
2
+a
2
2
+a
3
2
+…+a
n
2
=（ ）
A. （2
n
-1）
2
B.
1
3
(
2
n
−1)
C. 4
n
-1
D.
1
3
(
4
n
−1)
人气：157 ℃ 时间：2019-08-20 05:20:38
解答
设等比数列的公比为q，则由等比数列的性质可知数列{
a
n
2
}是以q
2
为公比的等比数列
S
n
=a
1
+a
2
+…+a
n
=2
n
-1
∵a
1
=S
1
=1，a
n
=S
n
-S
n-1
=2
n
-1-（2
n-1
-1）=2
n-1
适合n=1
∴
a
n
＝
2
n−1
，
则由等比数列的性质可知数列{
a
n
2
}是以q
2
=4为公比，以1为首项的等比数列
∴
a
1
2
+
a
2
2
+…+
a
n
2
=
1−
4
n
1−4
=
4
n
−1
3
故选D
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