如图,棱柱ABC-A
1B
1C
1的侧面BCC
1B
1是菱形,B
1C⊥A
1B,D是A
1C
1的中点,证明:
(Ⅰ)A
1B∥平面B
1CD
(Ⅱ)平面AB
1C⊥平面A
1BC
1.
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解答
证明:(I)取AC的中点O,连接OA
1,OB.
∵OC∥A
1D,OC=A
1D,∴四边形A
1OCD为平行四边形,∴A
1O∥CD,
又A
1O⊄平面B
1CD,CD⊂平面B
1CD,∴A
1O∥平面B
1CD,
同理可证BO∥平面B
1CD,
又A
1O∩BO=O,∴平面B
1CD∥平面A
1BO,又∵A
1B⊂平面A
1BO,
∴A
1B∥平面B
1CD.
(II)证明:因为侧面BCC
1B
1是菱形,所以B
1C⊥BC
1又已知B
1C⊥A
1B,且A
1B∩BC
1=B,
又B
1C⊥平面A
1BC
1,又B
1C⊂平面AB
1C,
所以平面AB
1C⊥平面A
1BC
1.
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