Y=X^4+2X^3+2X^2+2X+1=X^4+2X^3+X^2+X^2+2X+1=X^2(X+1)^2+(X+1)^2=(X+1)^2(X^2+1).
于是只要证明(X^2+1)不是完全平方即可.
反证法：
设X^2+1为完全平方数,即(X^2+1)=A^2,且A>X,于是必有有(A+X)(A-X)=1.
然而,由于A和X均为自然数,于是有A+X>1,A-X>=1,即必有(A+X)(A-X)>1.
矛盾.
因此X^2+1不是完全平方数,于是Y不是完全平方数.