①∵a²+3a+1=0，
∴a≠0，
∴在等式的两边同时除以a，得
a+3+

1

a

=0，
∴a+

1

a

=-3；
②由①知，a+

1

a

=-3，则（a+

1

a

）²=a2+

1

a2

+2=9，
解得，a2+

1

a2

=7；
③由②知，a2+

1

a2

=7，则（a2+

1

a2

）²=a4+

1

a4

+2=49，
解得，a4+

1

a4

=47．