设S为非空集合,且满足:(i)2∉;S;(ii)若a∈S,则1/(2-a)∈S.
空不够了
证明:(1)对一切n∈N+,n≥3,有n/(n-1)∉S
(2)S或者是单元素集,或者是无限集
人气:158 ℃ 时间:2020-05-22 17:19:09
解答
1)
反证法:
若有一个n/(n-1)属于S,由(ii)有
1/(2-n/(n-1))=(n-1)/(n-2)也属于s
从而有递推关系:
n/(n-1)--->(n-1)/(n-2)---->(n-2)/(n-3).--->2/1都属于s
与2不属于s矛盾
2)s={1}为符合条件的单元素集
若s为有限集,则有非1元素,a,有1/(2-a)∈S,由(ii)可以继续推导出:
(2-a)/(3-a),(3-2a)/(4-3a)
都属于s,利用归纳法易证形如
((i+1)-ia)/(i+2-(i+1)a)的数都属于s
且((i+1)-ia)/(i+2-(i+1)a)两两不同(利用a不等于1,反证易得)
从而s如果有非1元素,必有无穷元素.
综上,S或者是单元素集,或者是无限集
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