已知α1，α2，α3，α4是四维非零列向量，记A=（α1，α2，α3，α4），A*是A的伴随矩阵，若齐次方程组Ax=0的基础解系为_数学解答

已知α₁，α₂，α₃，α₄是四维非零列向量，记A=（α₁，α₂，α₃，α₄），A^*是A的伴随矩阵，若齐次方程组Ax=0的基础解系为（1，0，-2，0）^T，则A^*x=0的基础解系为（　　）
A. α₁，α₂
B. α₁，α₃
C. α₁，α₂，α₃
D. α₂，α₃，α₄

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解答

Ax=0的基础解系只含有一个向量，所以矩阵A的秩为3，
∴A存在不为0的3阶子式，即A^*不为0
∴r（A^*）≥1
又因为，此时

=0，由AA^*=

E=0，知r（A）+r（A^*）≤4
∴r（A^*）≤1
∴r（A^*）=1
∴A^*x=0的基础解系含有三个向量
∴正确答案只可能是C或者D
∵（α₁，α₂，α₃，α₄）

−2

=0
即α₁-2α₃=0
∴α₁与α₃线性相关
而方程组的基本解系必须是线性无关的向量
∴正确答案为D．